Unicodeとフォントの関係はどのようになっているのでしょうか？

Firefox をお使いということは、言語ごとにフォントを設定できると思います。単なる経験上の推測に過ぎませんが、ユニコードの場合、言語「Western」（「欧米」）で設定してあるフォントが使われるのではないかと思います。ですので、「Western」でIPAモナーフォント等を設定して試してみてください。
これでダメな場合は、/etc/fonts/fonts.conf（や~/.fonts.conf）などでフォント「Sans」や「Serif」の設定を変更してみるという手もありかもしれません。これはつまり、ユニコードの時に使われているのはおそらくは標準フォント（つまり「Sans」や「Serif」など）ではないかなと推測しているわけです。
どうでしょうか。

> about:configにはユニコードのフォントを設定するらしい箇所がありますが、当然ユニコードフォントを設定しなければならないのですよね？（ためしにIPAモナーフォントを設定してみましたが相変わらずでした。）

私の環境(Slackwareですが)のFirefoxは、
日本語文字コードならば、IPAモナーフォントで描画されます。
about:configではなく、普通に「編集」→「設定」→「コンテンツ」→「フォント」
で、IPAモナーフォントを選択しているだけです。

Unicode以外のページは綺麗に表示されているのでしょうか？？

昔のXlibを使用するアプリケーションは、
環境(LANG)によって、
UTF-8だと、iso10646のフォント、
EUC-JPだと、jisx0201、jisx0208などと使い分けていましたが、
最近のFirefoxはXFT経由でTrueTypeフォントを描画しているようなので、
あまり文字コードは意識していなくても使えるようになっているみたいです。

> Firefoxでユニコードのページを（一応でも）表示できる以上なにかしらデフォルトのユニコードフォントを参照しているはずだとは思うのですが、それが一体どこを参照しているのか、

通常ですと、/etc/pango/pangox.aliases あたりに
Sans、Serif、Monospaceなど、Firefoxにデフォルトで指定されているフォントの組み合わせがあると思います。
ここに、優先したいフォントを上位に書いたり、新たなフォントセットを付け足したりも出来きるはずです。
ですが、別途TrueTypeフォントを入手してフォントを指定する方が簡単だと思います。

> フリーで見るに耐えるユニコードフォントは存在するのか、

中国語は解らないのですが、
私の主観では、IPAフォント(IPAモナーフォント)、さざなみフォントで満足しています。
フォントに関しては個人差がかなりあるように見受けられるので、
いろいろ探してみるといいと思います。

・日本語TTFフリーフォント for X11
http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda/jttf.html

> Firefox上で（できればOSでユニコードを使う際の標準として）設定しなおすことができるのか、というのが主な疑問です。

Firefoxならば設定のフォントのところで、日本語、中国語のそれぞれにフォントを指定してやればいいと思います。
OS全体の場合は、上記のPangoの設定を弄るのも手ですが、
KDE、GNOMEをお使いならば、それぞれのコントロールセンターでフォントを選択したり、
/etc/fonts/fonts.conf を設定するだけでもかなり改善されると思います。
http://wiki.fdiary.net/font/?unixuser200403-2