こんばんは
例えば、以下のファイル名の場合に、日付だけを抽出して、
変数に代入したいのですが、よろしくお願い刺します。
ファイル名
AMT10_NHHHHHHHH_20060420_mmm.mtauamail.20060420+0900.log
変数に、20060420を入れる。

アンダースコアを区切り文字とした時の3列目が当該のものだとしたら、cutでいけるのでは。こんな感じ:
#!/bin/sh
fn=AMT10_NHHHHHHHH_20060420_mmm.mtauamail.20060420+0900.log
dte=`echo $fn|cut -d _ -f 3`
echo $dte