LinuxとGUI

>実際、Windowsにcolinuxをインストールした時は、コマンドプロンプトしか表示されなかったので、そういうものなのだと思ってました。
coLinux上で動くXサーバがなないから。
だからcoLinuxでもWindows上で動くXサーバを導入すれば
coLinuxでもX Window Systemは動く。

>wxWidgetsを利用してGUI部分の構築も出来るらしいですが、
wxWidgetsはGUIライブラリのひとつにすぎない。
他にもGTK+,QTなどいいろいろ存在する。

>EclipseとwxWidgetsを使ってCUIしかなさそうなLinuxディストリビューション上でソフトウェア開発をする場合、
EclipseはそもそもX Window System(JAVA+SWT)環境下で動く開発環境。
X Window Systeが動いてない状態でEclipseは使えません。

>CUIしかないLinuxディストリビューション上でGUI付きのソフトを開発できるものなのでしょうか？
GUIライブラリが適切にセットアップされていてコンパイルが通る状態なら
最悪vi+gccで可能。ただし実行テストはできない。

>Eclipse+wxWidgetsを起動したら、コマンドプロンプトからIDEのGUI画面に移るのでしょうか？
Xサーバが動いているならね。
そもそもWindowsでは無いんだからコマンドプロンプトはない。
コンソールとかX上ならターミナルエミュレータ

>CUIオンリーのLinuxでGUI使いまくりのウェブブラウザなどを起動したらどうなるのかも疑問です。
起動できません。

LinuxにはWindowsと違い、「ランレベル」という概念が存在します。質問者さんが以前使用されていたLinuxでは、ランレベルがそれぞれ以下のようになっていたということですね。
colinux　→　ランレベル３（マルチユーザCUIモード）
Ubuntu 　→　ランレベル５（マルチユーザGUIモード）
＠IT総合トップ > テクノロジー > Linux Square > Linux起動の仕組みを理解しよう［init/inittab編］
http://www.atmarkit.co.jp/flinux/rensai/theory10/theory10b.html

もちろん、このランレベルを変更すれば、CUI→GUIにも、反対のGUI→CUIにも出来ます。最近のLinuxでは大半がデフォルトランレベルが５になっているため、グラフィカルログインにてWindowsと同じように使用できますが、CUIモードで起動した際には、以下のサイトのように「startx」コマンドよりXを起動します。

Go-net:How to PC-Unix(Linux) 超簡素UNIX入門講座　＊サーバの起動と終了、ログイン、ログアウト
http://pc-unix.goco.ne.jp/howto1.html

あと、Xについてですが正確には以下のようになりますね。

X Window System→Linux標準のGUI環境（GPLで配布されているのは、XFree86）

GNOME→Xサーバ（XFree86）と通信しているXクライアント上にて動いているデスクトップ環境

GTK→GNOMEで使われている開発ライブラリ

gdm→GNOMEのディスプレイマネージャ

sawfish→GNOMEのウィンドウマネージャ

これが別のデスクトップ環境KDEだと各々が、「Qt,kdm,kwm」となる。